المطق لطلبه الثانويه4

الإستدلال الرياضي
1-عيوب المنطق الأرسطي:
1. أنه منطق عقيم ولا يؤدي الى زيادة المعرفة
 لأننا لو نظرنا الى القياس نجد النتيجة متضمنة في المقدمات.
 فهو لا يأتي بجديد ولا يزيد المعرفة لأن تقدم العلم مرتبط بالمعارف الجديدة.
2. القياس الأرسطي دائري:
 لأن المقدمات تؤدي الى النتائج والعكس صحيح.لذلك فهو يدور بالفكر في دائرة لا يمكن الخروج منها.
3. القياس ينطوي على مصادرة على المطلوب.
 لأنه يبدأ بقضية لا يبرهن عليها وتعتبر مصادرة.
 كما يصل الى نتيجة نسلم بها فتعتبر مصادرة هي الأخرى ، لأنه لم يبرهن عليها.
4. لم يعد صالحاً لتحقيق الأغراض العلمية:
 طالما أنه عقيم ودائري ويحتوي على مصادرة لذلك فهو لا يحقق مطالب العلم فكان لابد من تطويره.
2- بيكون وديكارت والروح العلمية الحديثة:
1. هاجم المفكرون منطق ارسطو لأنه يفترض مقدمات ثم يصل منها الى نتائج.
2. رأى المفكرون ان غرض العلم يجب ان ينعكس على الواقع ليحقق رفاهية الإنسان.
3. تزعم كل من (بيكون , وديكارت) الثورة على منطق ارسطو.
4. طور بيكون المنهج الإستقرائي وطور ديكارت المنهج الإستنباطي.
5. يرى بيكون أن هدف العلم معرفة ظواهر الطبيعة لإستغلالها لصالح الإنسان لذلك فالمنهج الإستقرائي القائم على الملاحظة والتجربة قادر على تحقيق ذلك.
6. يرى ديكارت ضرورة تطوير المنهج الإستنباطي لتفادي عيوب المنطق الأرسطي.
ملحوظة:
 يتشابه الإستنباط الرياضي مع القياس الأرسطي في أن النتائج تلزم عن المقدمات.
 ويختلف معه في أن الإستنباط الرياضي يأتي بجدبد ويتميز بالإبتكار والتعميم الذي ينتقل من البسيط الى المركب ومن الخاص الى العام. ولكن القياس نتائجه أخص من نتائج الإستنباط.
 الإستنباط كان من إختراع فلاسفة اليونان(فيثاغورث- ارسطو- إقليدس) وليس من إختراع ديكارت.


3- الرياضيات والتفكير الرياضي:
1. الرياضيات اليوم هي لغة العلوم المتقدمة والعالم لا يستطيع الإستغناء عنها.
2. إن هدف العالم هو صياغة نتائجه بلغة كمية دقيقة.
(أ)تعريف الرياضيات:
 هي علم دراسة الكم "المقدار" ومابينه من علاقات (التساوي-النقص-الزيادة......ألخ)
 والكم ينـقسم الى نوعين:
كم متصل: ويختص بالأسطح والاحجام والحركة والزمان. ويدرسها علم الهندسة والميكانيكا.
كم منفصل: ويختص بالأعداد والرموز ويدرسه علم الجبر والحساب.
لاحظ أن:
 الرياضيات تدرس الكم كمفهوم عقلي مجرد, فالعالم لا يهمه الصفات الحسية الموجودة في العدد.
فهو حين ينظر الى الرقم (2) لا يهمة المدلول الحسي لهذا العدد.
(ب) أنواع الرياضة:
الرياضة البحتة الرياضة التطبيقية
 تهدف الى إستنتاج النتائج من المقدمات التي يفترضها العالم.
 لا شأن للرياضي بمدى تطابق نتائجه مع الواقع.
بل يهتم بصحة نتائجه مع المقدمات.  تهدف الى تطبيق الرياضيات في الواقع الفعلي.
 كما في الفيزياء والكيمياء.
 ونحن في دراستنا سنـتناول الإستدلال الرياضي من خلال التفكير الرياضي في الرياضة البحته.
(جـ) الرياضيات نسق إستنباطي:
1. ويقصد بالنسق انه البناء المترابط الأجزاء( أي ان الرياضيات بناء عقلي متكامل) من مرحلتين:
1. مرحلة وضع المقدمات: " وهي مجموعة من المفاهيم والقضايا الرياضية"
2. مرحلة إستنبطات النظريات أو المبرهنات: ونستنبطها من المقدمات المفترضة "
2. إن الإستدلال الرياضي" الإستنباط" يلعب دوراً رئيسياً في الإستدلال الرياضي.
فهو الذي ينتقل بنا من المقدمات الى النتائج ليكتمل البناء.
ولذلك وصفت الرياضيات بأنها نسق إستنباطي
4- أهم خصائص القضية الرياضية:
أ- القضية الرياضية قضية تحليلية تعبر عن تحصيل حاصل:
1) لأن محمولها لا يضيف جديد الى موضوعها من الواقع.
2) صدقها يتوقف على عدم التناقض بين طرفيها.
3) مثال:" 1+1=2 فقولنا (2) لا يتناقض مع (1+1) لذلك فهي تحصيل حاصل.
ب- القضية الرياضية تعبر عن اللزوم المنطقي:
1) الشطر الثاني من القضية يلزم لزوماً منطقياً عن الشطر الأول.
2) النتائج تلزم عن المقدمات التي سلمنا بها.فنقول أنه لزوم منطقي صوري.
3) مثال: لو سلمنا أن السطح مستوي يلزم أن يكون مجموع زوايا المثلث 180°
5- بناء النسق الرياضي:
(أ) مقدمات النسق: ويتكون من:
(1)التعريفات أو" المعرفات":
1. هي مجموعة من المفاهيم يستخدمها الرياضي في نسقه بمعنى محدد ويقوم بتعريفها بدقة.
2. العالم الرياضي حر في تعريفه ولا يناقشه أحد فيما جاء بتعريفه.
3. ولكن بشرط أن يلتزم بما جاء بتعريفه لذلك يقال ان التعريفات الرياضية إشتراطية.
من أمثلة التعريفات:
 تعريف إقليدس للخط أنه( هو طول بغير عرض) وتعريفه للنقطة أنها (هي ما ليس لها أجزاء)
وتعريفه للسطح بأنه (هو ماله طول وعرض فقط)
(2) اللامعرفات:
1. وهي مجموعة من المفاهيم يستخدمها الرياضي في نسقه دون تعريف ليعرف بها مفاهيم أخرى.
2. اللامعرفات لاتُعرف لأننا لو تمسكنا بتعريف كل لفظ سيؤدي بنا ذلك الى تتابع التعريفات الى غير حد.
3. من أمثلة اللامعرفات: "الطول" "العرض" في تعريف الخط و "جزء" في تعريف النقطة.
(3) البديهيات:
تعريف البديهية قديماً تعريف جديد للبديهية في المنطق
1. "هي قضية واضحة بذاتها ولا تحتاج الى برهان" 1. "هي قضية لا تنتمي الى العلم الذي وردت فيه بل إستعارها هذه العلم من علم آخر أعم منه".
تعريف البديهية قديماً تعريف جديد للبديهية في المنطق
2. من أمثلة البديهيات التي قدمها إقليدس:
"الكل أكبر من الجزأ"
"المساويان لثالث متساويان"
3. إنتقد العلماء هذا التعريف لإعتماده على الوضوح الذاتي, فما هو واضح لشخص قد لا يكون واضحاً لشخص آخر .
وما هو واضح في الحاضر لم يكن واضحاً في الماضي. 2. العلوم تُرتب من حيث عموميتها كالآتي:-
أ- المنطق: وهو أعم العلوم لأن كل العلوم تستخدم قوانينه خاصةً قوانين الفكر الأساسية
ب- الرياضيات: إن العلوم الطبيعية والإنسانية تستخدم الرياضيات عندما تصيغ قوانينها صياغة كمية.
جـ- العلوم الطبيعية: إن العلوم الإنسانية تستفيد من العلوم الطبيعية. فعلم النفس مثلاً يستفيد من علم الفسيولوﭽيا عند توضيح أثر الجهاز العصبي والغدد على سلوك الإنسان.
ء- العلوم الإنسانية: أخص العلوم لأنها تستفيد من كل العلوم السابقة
3. هذا التعريف خلصنا من مشكلة الوضوح الذاتي.
(4) المسلمات:
1. هي قضية يسلم بها الرياضي دون برهان ليس لوضوحها الذاتي ولكن لأنه أراد أن يتركها بدون برهان لإتخاذها اساساً للبرهنة على النظريات.
2. هناك شروط يجب مراعاتها عند وضع المصادرات هي:
أولاً: عدم التناقض: بمعنى ألا تتناقض مصادرة مع مصادرة أخرى لأن ذلك يؤدي الى تناقض النظريات.
ثانياً: الإكتمال: بمعنى أن تكون كافيةً للبرهنة على نظريات النسق.
ثالثاً: الإستقلال: بمعنى ألا تؤخذ مصادرة من مصادرة أخرى لأنها ستكون في هذه الحالة نظرية.
3. من أمثلة المصادرات: " الخطان المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة فقط"
الفرق بين البديهية والمصادرة
أولاً: من وجهة النظر التقليدية ثانياً: من وجهة النظر الحديثة
 البديهية قضية نسلم بها لوضوحها الذاتي
 المصادرة: قضية نسلم بها دون برهان لنبرهن بها على قضايا أخرى.  البديهية لا تنتمي الى العلم الذي وردت فيه بل الى علم آخر أعم منه.
 المصادرة: تنتمي الى نفس العلم الذي وردت فيه
لاحظ أن:
 هناك رأي في الحاضر لا يفرق بين البديهية والمسلمة لأن كلاهما نسلم به دون برهان لذلك نجد كثيراً من الفلاسفة يُطلق عليها إما بديهية أو مصادرة.
(ب) النظريات الرياضية "المبرهنات:
1. بعد أن ينتهي الباحث من مرحلة وضع المقدمات يبدأ في مرحلة البرهنة على النظريات من خلال قواعد الإستنباط.
2. إن صحة النظريات متوقفة على صحة المقدمات المفترضة. فإذا سلمنا بصحة المقدمات فلابد أن نُسلم بصحة النتائج اللازمة عنها.
3. البرهنة على صحة النظريات تكون بردها بصورة مباشرة او غير مباشرة الى المقدمات.
** مباشرة: بإرجاعها الى المقدمة.
** غير مباشرة: بإرجاعها الى النظرية.
أهم قواعد الإستنباط:
(1) قاعدة الإستدلال أو إثبات المقدم:
 تنُص على
"إذا أثبتنا صدق المقدم في القضية الشرطية المتصلة أثبتنا صدق التالي الذي يمكن أخذه كنظرية مبرهنة"
 مثال:
إذا تساوى مثلثان في زاويتين وضلع مشترك بينهما كان المثلثان متطابقان
(2) قاعدة الوصل أو التقرير:
 تنُص على " إذا تم البرهان على نظريتين بشكل مُستقل ، فإن جمع الإثنين معاً يُمكن أن يكون نظرية مستقلة "
4. مثال:
لو كانت (س) نظرية تم البرهان عليها , و(ص) نظرية تم البرهنة عليها .
فإن (س ص) معاً يمكن أن تكون نظرية مستقلة.


























أسئلة للمراجعة على الفصل السادس
1. للبديهية الرياضية تعريفات مختلفة. إشرح ذلك؟ (1993)
2. تكلم عن خصائص القضية الرياضية؟ (1993)
3. بين الصواب أو الخطأ مع التعليل: القضية الرياضية تُعبر عن اللزوم المنطقي. (1994)
4. تتوقف صحة النظريات الرياضية على صحة المقدمات. ناقش ذلك في ضؤ ما درست؟ (1994)
5. بين الصواب أو الخطأ مع التعليل: القضية الرياضية قضية تحليلية تُعبر عن تحصيل حاصل. (1995)
6. المسلمات مجرد إفتراضات لها شروط يجب مراعاتها. وضح ذلك؟ (1995)
7. بين الصواب أو الخطأ مع التعليل: الرياضة البحتة هي فرع الرياضيات الذي يرتبط بالواقع إرتباطاً وثيقاً.
8. إختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المذكورة مع التعليل: (1996)
المصادرة هي:
أ- قضية يُسلم بها الرياضي لإنها واضحة بذاتها.
ب- قضية يُسلم بها الرياضي لإنها مبرهنة برهاناً دقيقاً.
جـ- قضية يسلم بها الرياضي للبرهنة على غيرها من القضايا.
9. بين الصواب والخطأ مع التعليل: القضية الرياضية قضية تركيبية. (1997)
10. المسلمات من بين مقدمات النسق الرياضي. وضح ذلك؟ (1998)
11. حدد الصواب والخطأ مع التعليل: تتوقف صحة النظرية الرياضية على مطابقتها للواقع. (1999)
12. ما الشروط الواجب مراعاتها عند وضع المسلمات الرياضية. (1999)
13. حدد الصواب من الخطا مع التعليل: الرياضيات نسق إستنباطي. (2000)
14. حدد الصواب والخطأ مع التعليل: المعرفات من مقدمات النسق الرياضي. (2000)
15. حدد الصواب و الخطأ مع التعليل: القضية الرياضية تعبر عن اللزوم المنطقي. (2001)
16. حدد الصواب والخطأ مع التعليل: كل تعريف رياضي يتضمن لامعرفات. (2002)
17. بين الصواب والخطأ مع التعليل: طور ديكارت منهج الإستنباط الرياضي. (2003)
18. وضح بمثال خصائص القضية الرياضية؟ (2003)
19. فرق بين المعرفات واللامعرفات في النسق الرياضي؟ (2004)
20. تتوقف صحة النظريات الرياضية على المقدمات. وضح ؟ (2004)
21. بين الصواب والخطأ مع التعليل: الرياضيات نسق إستنباطي. (2005)
22. بين الصواب والخطأ مع التعليل: المسلمة الرياضية قضية واضحة بذاتها. (2005)